مفهوم راديكال در رياضيبه ضربهاي زير دقت كنيد:
ماشين حساب
1 times 1 = 1
2 times 2 = 4
5 times 5 = 25
10 times 10 = 100
12 times 12 = 144
15 times 15 = 225
در همه ضربهاي بالا، يك عدد در خودش ضرب شده است. هر كسي كه اندكي رياضي بلد باشد، مي‌تواند ضربهاي بالا را حساب كند.
حال بياييد برعكس قضيه را در نظر بگيريم:
فرض كنيد در جريان حل يك مسأله، به عدد ۴۰۰ رسيده‌ايد و براي ادامه حل بايد بدانيد كه چه عددي در خودش ضرب بشود، حاصل برابر با ۴۰۰ است. با كمي فكر متوجه مي‌شويد كه جواب ۲۰ است.
رياضي‌دانان قديم زياد به اين نوع مسائل برخورد مي‌كردند. به همين خاطر به فكر افتادند كه چيز جديدي براي همين كار به رياضيات اضافه كنند. درست همينجا بود كه راديكال متولد شد.
پس راديكال x برابر است با عددي كه در خودش ضرب شود، حاصل برابر با x است.
فرجه‌ي راديكالمي‌توان سؤال بالا را براي دفعات بالاتر ضرب هم مطرح كرد. مثلاً چه عددي سه بار در خودش ضرب شود، حاصل برابر با ۲۷ است؟ كمي كه فكر كنيد، مي‌فهميد كه جواب ۳ است.
اين مفهوم را با فرجه راديكال نشان مي‌دهند و آن را به صورت زير مي‌نويسند:
sqrt[3]{27} = 3
%d9%81%d8%b1%d8%ac%d9%87-%d8%b1%d8%a7%d8%af%db%8c%da%a9%d8%a7%d9%84
اگر فرجه راديكال برابر با ۲ باشد، نيازي به نوشتن فرجه نيست.
راديكال با فرجه دو يك عدد را مجذور آن عدد يا ريشه دوم آن عدد مي‌نامند.
راديكال با فرجه سه يك عدد را ريشه سوم آن عدد مي‌نامند.
راديكال با فرجه nام يك عدد را ريشه nام آن عدد مي‌نامند.
رابطه‌ي راديكال با توانمي‌دانيم كه توان در رياضي به معني ضربهاي متوالي است. يعني:
x times x = x^{2}
x times x times x = x^{3}
توان دوم يك عدد را مربع آن عدد مي‌نامند و توان سوم يك عدد را مكعب آن عدد مي‌نامند.
پس راديكال با فرجه n يك عدد برابر است با عددي كه اگر آن را به توان n برسانيم، حاصل برابر با عدد زير راديكال مي‌شود.
بنابراين sqrt{x} برابر است با عددي كه اگر آن را به توان دو برسانيم، حاصل برابر با x است. يعني اگر بخواهيم بدانيم x مربع چه عددي است، بايد از آن جذر بگيريم.
در واقع راديكال به نوعي معكوس توان است.
راديكال با فرجه زوج و فردحتما تا به حال متوجه يك نكته مهم در راديكال شده‌ايد. گفتيم كه راديكال معكوس توان است. به عبارتي، sqrt{4} يعني چه عددي به توان دو برسد، برابر با ۴ است.
كمي كه با دقت باشيد، متوجه مي‌شويد كه دو عدد اين ويژگي را دارند: ۲ و ۲- . چرا؟ قانون منفي در منفي برابر است با مثبت را به ياد آوريد. ۲- وقتي در خودش ضرب شود، حاصل ۴+ است. پس مي توان گفت جذر عدد ۴ برابر است با ۲-
هر فرجه زوجي را كه در نظر بگيريد، همين ويژگي را دارد ولي ريشه مثبت را در نظر مي گيرند.
نكته : راديكال با فرجه زوج داراي دو جواب است: يكي با علامت مثبت، يكي با علامت منفي ولي هميشه ريشه مثبت را در نظر مي گيرند.
نكته: راديكال با فرجه فرد داراي يك جواب است.
به زبان رياضي داريم:
sqrt[2n]{x^{2n}} = begin{matrix}+x\ -xend{matrix}
sqrt[2n + 1]{x^{2n + 1}} = x
دقت كنيد كه در فرجه زوج، هر دو جواب همزمان صحيح هستند.
نكته ديگر مربوطه به راديكال اعداد منفي با فرجه زوج است. چنين راديكالي تعريف نشده است. زيرا هيچ عددي وجود ندارد كه وقتي به توان زوج برسد، حاصل منفي باشد. پس به خاطر داشته باشيد كه:
نكته: راديكال اعداد منفي با ريشه زوج، بي معني است و در رياضيات تعريف نشده است. عدد زير راديكال با فرجه زوج، همواره بايد مثبت باشد.
راديكال همان توان كسري استشايد قبلاً به اين موضوع فكر كرده باشيد كه a^{frac{1}{2}} يعني چه. در واقع مفهوم كسري بودن توان چيست؟
كسري بودن توان همان راديكال است. يعني a^{frac{1}{2}} = sqrt{a}. در حالت كلي داريم:
sqrt[m]{x^{n}} = x^{frac{n}{m}}
مثال: ريشه‌ي دوم عدد ۹ برابر به ۳ است. زيرا 3^{2} = 9.
مثال: sqrt{16} = 4
مثال: sqrt[4]{16} = 2
مثال: sqrt[4]{625} = 625 ^ {frac{1}{4}} = 5
مثال: sqrt{1.44} = 1.2
مثال: جذر برخي اعداد، عددي گويا نمي‌شود. مثلاً جذر ۲، ۳ و ۵٫ بهتر است جذر اين اعداد را تا دو رقم اعشار حفظ كنيد:
sqrt{2} = 1.41
sqrt{3} = 1.73
sqrt{5} = 2.23
مفهوم راديكال در رياضيبه ضربهاي زير دقت كنيد:
ماشين حساب
1 times 1 = 1
2 times 2 = 4
5 times 5 = 25
10 times 10 = 100
12 times 12 = 144
15 times 15 = 225
در همه ضربهاي بالا، يك عدد در خودش ضرب شده است. هر كسي كه اندكي رياضي بلد باشد، مي‌تواند ضربهاي بالا را حساب كند.
حال بياييد برعكس قضيه را در نظر بگيريم:
فرض كنيد در جريان حل يك مسأله، به عدد ۴۰۰ رسيده‌ايد و براي ادامه حل بايد بدانيد كه چه عددي در خودش ضرب بشود، حاصل برابر با ۴۰۰ است. با كمي فكر متوجه مي‌شويد كه جواب ۲۰ است.
رياضي‌دانان قديم زياد به اين نوع مسائل برخورد مي‌كردند. به همين خاطر به فكر افتادند كه چيز جديدي براي همين كار به رياضيات اضافه كنند. درست همينجا بود كه راديكال متولد شد.
پس راديكال x برابر است با عددي كه در خودش ضرب شود، حاصل برابر با x است.
فرجه‌ي راديكالمي‌توان سؤال بالا را براي دفعات بالاتر ضرب هم مطرح كرد. مثلاً چه عددي سه بار در خودش ضرب شود، حاصل برابر با ۲۷ است؟ كمي كه فكر كنيد، مي‌فهميد كه جواب ۳ است.
اين مفهوم را با فرجه راديكال نشان مي‌دهند و آن را به صورت زير مي‌نويسند:
sqrt[3]{27} = 3
%d9%81%d8%b1%d8%ac%d9%87-%d8%b1%d8%a7%d8%af%db%8c%da%a9%d8%a7%d9%84
اگر فرجه راديكال برابر با ۲ باشد، نيازي به نوشتن فرجه نيست.
راديكال با فرجه دو يك عدد را مجذور آن عدد يا ريشه دوم آن عدد مي‌نامند.
راديكال با فرجه سه يك عدد را ريشه سوم آن عدد مي‌نامند.
راديكال با فرجه nام يك عدد را ريشه nام آن عدد مي‌نامند.
رابطه‌ي راديكال با توانمي‌دانيم كه توان در رياضي به معني ضربهاي متوالي است. يعني:
x times x = x^{2}
x times x times x = x^{3}
توان دوم يك عدد را مربع آن عدد مي‌نامند و توان سوم يك عدد را مكعب آن عدد مي‌نامند.
پس راديكال با فرجه n يك عدد برابر است با عددي كه اگر آن را به توان n برسانيم، حاصل برابر با عدد زير راديكال مي‌شود.
بنابراين sqrt{x} برابر است با عددي كه اگر آن را به توان دو برسانيم، حاصل برابر با x است. يعني اگر بخواهيم بدانيم x مربع چه عددي است، بايد از آن جذر بگيريم.
در واقع راديكال به نوعي معكوس توان است.
راديكال با فرجه زوج و فردحتما تا به حال متوجه يك نكته مهم در راديكال شده‌ايد. گفتيم كه راديكال معكوس توان است. به عبارتي، sqrt{4} يعني چه عددي به توان دو برسد، برابر با ۴ است.
كمي كه با دقت باشيد، متوجه مي‌شويد كه دو عدد اين ويژگي را دارند: ۲ و ۲- . چرا؟ قانون منفي در منفي برابر است با مثبت را به ياد آوريد. ۲- وقتي در خودش ضرب شود، حاصل ۴+ است. پس مي توان گفت جذر عدد ۴ برابر است با ۲-
هر فرجه زوجي را كه در نظر بگيريد، همين ويژگي را دارد ولي ريشه مثبت را در نظر مي گيرند.
نكته : راديكال با فرجه زوج داراي دو جواب است: يكي با علامت مثبت، يكي با علامت منفي ولي هميشه ريشه مثبت را در نظر مي گيرند.
نكته: راديكال با فرجه فرد داراي يك جواب است.
به زبان رياضي داريم:
sqrt[2n]{x^{2n}} = begin{matrix}+x\ -xend{matrix}
sqrt[2n + 1]{x^{2n + 1}} = x
دقت كنيد كه در فرجه زوج، هر دو جواب همزمان صحيح هستند.
نكته ديگر مربوطه به راديكال اعداد منفي با فرجه زوج است. چنين راديكالي تعريف نشده است. زيرا هيچ عددي وجود ندارد كه وقتي به توان زوج برسد، حاصل منفي باشد. پس به خاطر داشته باشيد كه:
نكته: راديكال اعداد منفي با ريشه زوج، بي معني است و در رياضيات تعريف نشده است. عدد زير راديكال با فرجه زوج، همواره بايد مثبت باشد.
راديكال همان توان كسري استشايد قبلاً به اين موضوع فكر كرده باشيد كه a^{frac{1}{2}} يعني چه. در واقع مفهوم كسري بودن توان چيست؟
كسري بودن توان همان راديكال است. يعني a^{frac{1}{2}} = sqrt{a}. در حالت كلي داريم:
sqrt[m]{x^{n}} = x^{frac{n}{m}}
مثال: ريشه‌ي دوم عدد ۹ برابر به ۳ است. زيرا 3^{2} = 9.
مثال: sqrt{16} = 4
مثال: sqrt[4]{16} = 2
مثال: sqrt[4]{625} = 625 ^ {frac{1}{4}} = 5
مثال: sqrt{1.44} = 1.2
مثال: جذر برخي اعداد، عددي گويا نمي‌شود. مثلاً جذر ۲، ۳ و ۵٫ بهتر است جذر اين اعداد را تا دو رقم اعشار حفظ كنيد:
sqrt{2} = 1.41
sqrt{3} = 1.73
sqrt{5} = 2.23
نوناووت يكي از ايالت هاي جديد كشور كانادا