ماشين حساب

ماشين حساب

در رياضيات، مفهوم حد، براي بيان رفتار يك تابع مورد استفاده قرار مي گيرد و به بررسي اين رفتار در نقاط روي صفحه و يا در بي نهايت مي پردازد. حد در حساب ديفرانسيل و انتگرال و نيز در آناليز رياضي براي تعريف مشتق و نيز مفهوم پيوستگي مورد استفاده قرار مي گيرد. رياضيدانها حتي قبل از اينكه بتوانند مفهوم دقيق حد را بيان كنند، در مورد آن بحث مي كرده اند. يونانيان باستان دركي از مفهوم حد داشته اند. مثلاً ارشميدس مقدار تقريبي را با استفاده از محيط چند ضلعيهاي منتظم محاط در دايره به شعاع واحد، وقتي كه تعداد اضلاع بدون كران افزايش مي يابد به دست مي آورد. در قرون وسطي نيز تا زمان رنسانس انواع مفاهيم حد براي بدست آوردن مساحت شكلهاي مختلف به كار رفته است.
نيوتن و لايب نيتسدر قرن هفدهم، درك شهودي خوبي از حد داشته و حتي حدهاي پيچيده اي را نيز محاسبه كرده اند. اما نه آنها و نه در آن قرن، دانشمندان ديگر تعريف دقيقي از حد را ارائه نكرده اند.
يك قرن پس از پيشرفت حساب ديفرانسيل و انتگرال، آلمبرت در سال 1754 عنوان كرد كه پايه منطقي مباحث اين رشته از دانش بشري مفهوم حداست. كوشي در اوايل قرن نوزدهم حساب ديفرانسيل و انتگرال را به شكلي شبيه آنچه در حال حاضر مي خوانيم ارائه داد:
"وقتي كه مقادير متوالي به يك متغير نسبت داده مي شود، بي نهايت به عدد ثابتي نزديك شوند، به طوري كه اختلاف آنها از مقدار ثابت به هر اندازه كوچك قابل انتخاب باشد، اين مقدار ثابت را حد همه مقادير متغير مي گويند."
اگر چه تعريف او از حد باز هم دقيق نبود ولي او قدم بزرگي براي رسيدن به تعريف دقيق فعلي برداشت. تا اينكه سرانجام ويراشتراس در قرن نوزدهم تعريف دققي حد را مطرح كرد كه همواره مورد استفاده رياضيدانان است و در اين كتاب نيز آورده شده است. حد تابع در يك نقطه
اگر يك تابع و يك عدد حقيقي باشد و داشته باشيم: آن گاه اين فرمول را چنين ميخوانيم << حد تابع f وقتي كه x به سمت مي رود برابر L است>> توجه كنيد كه اين عبارت حتي اگر باشد نيز مي تواند درست باشد. در عوض تابع در نقطه c تعريف نشده است.حالي مثالي را ذكر مي كنيم:تابع زير را در نظر ميگيريم


حال متغير x را به عدد2 نزديك مي كنيم و خواهيم ديد كه مقدار تابع به 0.4 نزديك مي شود. در اين مورد مشاهده مي شود كه در اين صورت گزينه تابع در نقطه X=C داراي پيوستگي است. اما هميشه اين مورد برقرار نيست.
img/daneshnameh_up/6/6d/limits1.gifمنحني زرد رنگ در همه جا پيوسته بوده و داراي حد است ولي سه شكل ديگر نمايانگر انواع ناپيوستگي يك نمودار در يك نقطه است

تعريف مجرد حد:
فرض كنيد f تابعي باشد روي يك بازه باز كه شامل نقطه C است و فرض كنيد L يك عدد حقيقي باشد در اين صورت را به صورت زير تعريف ميكنيم: به ازاي هروجود دارد يك كه براي هر x دلخواه اگر آنگاه نتيجه بگيريم:
حد توابع در بي نهايتحد يك تابع فقط در نزديكي اعداد متناهي تعريف نمي شود بلكه ممكن است متغير توابع وقتي كه بي نهايت نزديك مي شود داراي حد باشند. به عنوان مثال در تابع خواهيم داشت:
f(100) = 1.9802f(1000) = 1.9980f(10000) = 1.9998مشاهده ميشود كه هر چه قدر x بزرگتر ميشود ،مقدار تابع به عدد 2 نزديكتر ميشود .در واقع داريم:
حد يك دنبالهحد يك دنباله مانند 1.79, 1.799, 1.7999,... را در نظر بگيريد. مشاهده مي كنيم كه اين دنباله به عدد 1.8 نزديك مي شود. به طور كلي فرض مي كنيم يك دنباله از اعداد حقيقي باشد. مي گوييم حد اين دنباله برابر L است و مي نويسيم: اگر و تنها اگر براي هر يك عدد طبيعي مانند m باشد كه براي هر n>m داشته باشيم بايد توجه كرد كه ما مي توانيم مقدار . را به عنوان فاصله بين و L در نظر بگيريم به چنين دنباله هايي كه حد آنها به يك عدد متناهي ميل مي كند همگرا گويند و گرنه به آن واگرا گويند.

ماشين حساب

در رياضيات، مفهوم حد، براي بيان رفتار يك تابع مورد استفاده قرار مي گيرد و به بررسي اين رفتار در نقاط روي صفحه و يا در بي نهايت مي پردازد. حد در حساب ديفرانسيل و انتگرال و نيز در آناليز رياضي براي تعريف مشتق و نيز مفهوم پيوستگي مورد استفاده قرار مي گيرد. رياضيدانها حتي قبل از اينكه بتوانند مفهوم دقيق حد را بيان كنند، در مورد آن بحث مي كرده اند. يونانيان باستان دركي از مفهوم حد داشته اند. مثلاً ارشميدس مقدار تقريبي را با استفاده از محيط چند ضلعيهاي منتظم محاط در دايره به شعاع واحد، وقتي كه تعداد اضلاع بدون كران افزايش مي يابد به دست مي آورد. در قرون وسطي نيز تا زمان رنسانس انواع مفاهيم حد براي بدست آوردن مساحت شكلهاي مختلف به كار رفته است.
نيوتن و لايب نيتسدر قرن هفدهم، درك شهودي خوبي از حد داشته و حتي حدهاي پيچيده اي را نيز محاسبه كرده اند. اما نه آنها و نه در آن قرن، دانشمندان ديگر تعريف دقيقي از حد را ارائه نكرده اند.
يك قرن پس از پيشرفت حساب ديفرانسيل و انتگرال، آلمبرت در سال 1754 عنوان كرد كه پايه منطقي مباحث اين رشته از دانش بشري مفهوم حداست. كوشي در اوايل قرن نوزدهم حساب ديفرانسيل و انتگرال را به شكلي شبيه آنچه در حال حاضر مي خوانيم ارائه داد:
"وقتي كه مقادير متوالي به يك متغير نسبت داده مي شود، بي نهايت به عدد ثابتي نزديك شوند، به طوري كه اختلاف آنها از مقدار ثابت به هر اندازه كوچك قابل انتخاب باشد، اين مقدار ثابت را حد همه مقادير متغير مي گويند."
اگر چه تعريف او از حد باز هم دقيق نبود ولي او قدم بزرگي براي رسيدن به تعريف دقيق فعلي برداشت. تا اينكه سرانجام ويراشتراس در قرن نوزدهم تعريف دققي حد را مطرح كرد كه همواره مورد استفاده رياضيدانان است و در اين كتاب نيز آورده شده است. حد تابع در يك نقطه
اگر يك تابع و يك عدد حقيقي باشد و داشته باشيم: آن گاه اين فرمول را چنين ميخوانيم << حد تابع f وقتي كه x به سمت مي رود برابر L است>> توجه كنيد كه اين عبارت حتي اگر باشد نيز مي تواند درست باشد. در عوض تابع در نقطه c تعريف نشده است.حالي مثالي را ذكر مي كنيم:تابع زير را در نظر ميگيريم


حال متغير x را به عدد2 نزديك مي كنيم و خواهيم ديد كه مقدار تابع به 0.4 نزديك مي شود. در اين مورد مشاهده مي شود كه در اين صورت گزينه تابع در نقطه X=C داراي پيوستگي است. اما هميشه اين مورد برقرار نيست.
img/daneshnameh_up/6/6d/limits1.gifمنحني زرد رنگ در همه جا پيوسته بوده و داراي حد است ولي سه شكل ديگر نمايانگر انواع ناپيوستگي يك نمودار در يك نقطه است

تعريف مجرد حد:
فرض كنيد f تابعي باشد روي يك بازه باز كه شامل نقطه C است و فرض كنيد L يك عدد حقيقي باشد در اين صورت را به صورت زير تعريف ميكنيم: به ازاي هروجود دارد يك كه براي هر x دلخواه اگر آنگاه نتيجه بگيريم:
حد توابع در بي نهايتحد يك تابع فقط در نزديكي اعداد متناهي تعريف نمي شود بلكه ممكن است متغير توابع وقتي كه بي نهايت نزديك مي شود داراي حد باشند. به عنوان مثال در تابع خواهيم داشت:
f(100) = 1.9802f(1000) = 1.9980f(10000) = 1.9998مشاهده ميشود كه هر چه قدر x بزرگتر ميشود ،مقدار تابع به عدد 2 نزديكتر ميشود .در واقع داريم:
حد يك دنبالهحد يك دنباله مانند 1.79, 1.799, 1.7999,... را در نظر بگيريد. مشاهده مي كنيم كه اين دنباله به عدد 1.8 نزديك مي شود. به طور كلي فرض مي كنيم يك دنباله از اعداد حقيقي باشد. مي گوييم حد اين دنباله برابر L است و مي نويسيم: اگر و تنها اگر براي هر يك عدد طبيعي مانند m باشد كه براي هر n>m داشته باشيم بايد توجه كرد كه ما مي توانيم مقدار . را به عنوان فاصله بين و L در نظر بگيريم به چنين دنباله هايي كه حد آنها به يك عدد متناهي ميل مي كند همگرا گويند و گرنه به آن واگرا گويند.