دايره مثلثاتي، دايره‌اي به شعاع يك است كه مركز آن بر روي مركز محورهاي مختصات قرار دارد.
خوب خاصيت اين دايره و رابطه آن با نسبت‌هاي مثلثاتي، چيست؟ بياييد مثل هميشه، يك مثلث قائم‌الزاويه رسم كنيم. زاويه ۹۰ درجه اين مثلث بر روي محور xها و يكي از رئوس آن روي محيط دايره واقع شده است.
درست مثل شكل زير:
حال بياييد، نسبت‌هاي مثلثاتي را براي زاويه alpha حساب كنيم. (فرمول‌هاي زير را با شكل مطابقت دهيد.)
sinalpha = frac{y}{1}=y
غير مجاز مي باشدalpha = frac{x}{1}=x
tanalpha =frac{sinalpha}{غير مجاز مي باشدalpha} = frac{frac{z}{sqrt{1+z^{2}}}}{frac{1}{sqrt{1+z^{2}}}} = z rightarrow tanalpha = z
cotalpha = frac{غير مجاز مي باشدalpha}{sinalpha} = frac{frac{w}{sqrt{1+w^{2}}}}{frac{1}{sqrt{1+w^{2}}}} = w rightarrow cotalpha = w
همانطور كه مي‌بينيد، مقادير سينوس روي محور yها، مقادير كسينوس روي محور xها، مقادير كتانژانت روي محور عمودي بنفش رنگ (خط x=1) و مقادير كتانژانت روي محور افقي سبز رنگ نگاشت (خط y=1) مي‌شوند.
تعيين علامت نسبت‌هاي مثلثاتي روي دايره مثلثاتياگر دايره مثلثاتي را در ذهن خود داشته باشيد، تعيين علامت نسبت‌هاي بسيار ساده است.
%d8%aa%d8%b9%db%8c%db%8c%d9%86-%d8%b9%d9%84%d8%a7%d9%85%d8%aa-%d9%85%d8%ab%d9%84%d8%ab%d8%a7%d8%aa%db%8c-%d8%af%d8%b1-%d8%af%d8%a7%db%8c%d8%b1%d9%87
علامت سينوس همواره با علامت y برابر است.علامت كسينوس همواره با علامت x برابر است.اگر امتداد زاويه خط x=1 را در بالاي محور xها قطع كرد، علامت تانژانت مثبت و در غير اينصورت منفي است.اگر امتداد زاويه خط y=1 را در سمت راست محور yها قطع كرد، علامت كتانژانت مثبت و در غير اينصورت منفي است.
تبديل زوايا در دايره مثلثاتياگر دايره مثلثاتي را حفظ باشيد، نوشتن فرمول‌هاي تبديل زاويه خيلي راحت مي‌شود. به مثال‌هاي زير توجه كنيد.
فرض كنيد مي‌خواهيم رابطه بين نسبت‌هاي مثلثاتي زاويه alpha &s=2 و -alpha &s=2 را بيابيم.مي‌دانيم كه زاويه منفي يعني حركت در خلاف جهت عقربه‌هاي ساعت. پس در خلاف جهت عقربه‌هاي ساعت به اندازه آلفا پيش مي‌رويم. مثلث قائم‌الزاويه‌اي كه تشكيل مي‌شود، دقيقا مشابه مثلث قبلي است. با اين تفاوت كه در ربع چهارم است. پس سينوس آن منفي است و كسينوس مثبت. تانژانت و كتانژانت هم منفي مي‌شوند.
به همين صورت مي‌توانيد هر زاويه‌اي را تصور كنيد. البته به صورت كلي، قانوني كه براي زاويه حاده در ربع اول به دست بيايد، براي تمام زوايا برقرار است.
%d9%86%d8%b3%d8%a8%d8%aa-%d9%87%d8%a7%db%8c-%d9%85%d9%86%d9%81%db%8c-%d8%a2%d9%84%d9%81%d8%a7-%d8%b1%d9%88%db%8c-%d8%af%d8%a7%db%8c%d8%b1%d9%87
مي‌خواهيم رابطه بين نسبت‌هاي alpha &s=2 و pi + alpha &S=2 و pi - alpha &s=2 را بيابيم.مطابق مورد قبلي، كافيست كه براي يك زاويه حاده، زواياي را تصور كنيم. وقتي زاويه حاده باشد، pi + alpha &S=2 و pi + alpha &S=2 به صورت زير خواهد بود.
ملاحظه مي‌كنيد كه مثلث‌هاي قائم‌الزاويه متشابهند. يعني فقط علامت زوايا عوض مي‌شود.
%d9%86%d8%b3%d8%a8%d8%aa-%d9%87%d8%a7%db%8c-%d9%be%db%8c-%d8%a8%d9%87-%d8%a7%d8%b6%d8%a7%d9%81%d9%87-%d8%a2%d9%84%d9%81%d8%a7
%d9%86%d8%b3%d8%a8%d8%aa-%d9%87%d8%a7%db%8c-%d9%be%db%8c-%d9%85%d9%86%d9%87%d8%a7%db%8c-%d8%a2%d9%84%d9%81%d8%a7
دايره مثلثاتي، دايره‌اي به شعاع يك است كه مركز آن بر روي مركز محورهاي مختصات قرار دارد.
خوب خاصيت اين دايره و رابطه آن با نسبت‌هاي مثلثاتي، چيست؟ بياييد مثل هميشه، يك مثلث قائم‌الزاويه رسم كنيم. زاويه ۹۰ درجه اين مثلث بر روي محور xها و يكي از رئوس آن روي محيط دايره واقع شده است.
درست مثل شكل زير:
حال بياييد، نسبت‌هاي مثلثاتي را براي زاويه alpha حساب كنيم. (فرمول‌هاي زير را با شكل مطابقت دهيد.)
sinalpha = frac{y}{1}=y
غير مجاز مي باشدalpha = frac{x}{1}=x
tanalpha =frac{sinalpha}{غير مجاز مي باشدalpha} = frac{frac{z}{sqrt{1+z^{2}}}}{frac{1}{sqrt{1+z^{2}}}} = z rightarrow tanalpha = z
cotalpha = frac{غير مجاز مي باشدalpha}{sinalpha} = frac{frac{w}{sqrt{1+w^{2}}}}{frac{1}{sqrt{1+w^{2}}}} = w rightarrow cotalpha = w
همانطور كه مي‌بينيد، مقادير سينوس روي محور yها، مقادير كسينوس روي محور xها، مقادير كتانژانت روي محور عمودي بنفش رنگ (خط x=1) و مقادير كتانژانت روي محور افقي سبز رنگ نگاشت (خط y=1) مي‌شوند.
تعيين علامت نسبت‌هاي مثلثاتي روي دايره مثلثاتياگر دايره مثلثاتي را در ذهن خود داشته باشيد، تعيين علامت نسبت‌هاي بسيار ساده است.
%d8%aa%d8%b9%db%8c%db%8c%d9%86-%d8%b9%d9%84%d8%a7%d9%85%d8%aa-%d9%85%d8%ab%d9%84%d8%ab%d8%a7%d8%aa%db%8c-%d8%af%d8%b1-%d8%af%d8%a7%db%8c%d8%b1%d9%87
علامت سينوس همواره با علامت y برابر است.علامت كسينوس همواره با علامت x برابر است.اگر امتداد زاويه خط x=1 را در بالاي محور xها قطع كرد، علامت تانژانت مثبت و در غير اينصورت منفي است.اگر امتداد زاويه خط y=1 را در سمت راست محور yها قطع كرد، علامت كتانژانت مثبت و در غير اينصورت منفي است.
تبديل زوايا در دايره مثلثاتياگر دايره مثلثاتي را حفظ باشيد، نوشتن فرمول‌هاي تبديل زاويه خيلي راحت مي‌شود. به مثال‌هاي زير توجه كنيد.
فرض كنيد مي‌خواهيم رابطه بين نسبت‌هاي مثلثاتي زاويه alpha &s=2 و -alpha &s=2 را بيابيم.مي‌دانيم كه زاويه منفي يعني حركت در خلاف جهت عقربه‌هاي ساعت. پس در خلاف جهت عقربه‌هاي ساعت به اندازه آلفا پيش مي‌رويم. مثلث قائم‌الزاويه‌اي كه تشكيل مي‌شود، دقيقا مشابه مثلث قبلي است. با اين تفاوت كه در ربع چهارم است. پس سينوس آن منفي است و كسينوس مثبت. تانژانت و كتانژانت هم منفي مي‌شوند.
به همين صورت مي‌توانيد هر زاويه‌اي را تصور كنيد. البته به صورت كلي، قانوني كه براي زاويه حاده در ربع اول به دست بيايد، براي تمام زوايا برقرار است.
%d9%86%d8%b3%d8%a8%d8%aa-%d9%87%d8%a7%db%8c-%d9%85%d9%86%d9%81%db%8c-%d8%a2%d9%84%d9%81%d8%a7-%d8%b1%d9%88%db%8c-%d8%af%d8%a7%db%8c%d8%b1%d9%87
مي‌خواهيم رابطه بين نسبت‌هاي alpha &s=2 و pi + alpha &S=2 و pi - alpha &s=2 را بيابيم.مطابق مورد قبلي، كافيست كه براي يك زاويه حاده، زواياي را تصور كنيم. وقتي زاويه حاده باشد، pi + alpha &S=2 و pi + alpha &S=2 به صورت زير خواهد بود.
ملاحظه مي‌كنيد كه مثلث‌هاي قائم‌الزاويه متشابهند. يعني فقط علامت زوايا عوض مي‌شود.
%d9%86%d8%b3%d8%a8%d8%aa-%d9%87%d8%a7%db%8c-%d9%be%db%8c-%d8%a8%d9%87-%d8%a7%d8%b6%d8%a7%d9%81%d9%87-%d8%a2%d9%84%d9%81%d8%a7
%d9%86%d8%b3%d8%a8%d8%aa-%d9%87%d8%a7%db%8c-%d9%be%db%8c-%d9%85%d9%86%d9%87%d8%a7%db%8c-%d8%a2%d9%84%d9%81%d8%a7
نوناووت يكي از ايالت هاي جديد كشور كانادا